DH 密钥交换和 ECDH

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下面我们以 Alice 和 Bob 为例叙述 Diffie-Hellman 密钥交换的原理。

1,Diffie-Hellman 交换过程中涉及到的所有参与者定义一个组，在这个组中定义一个大质数 p，底数 g。

2,Diffie-Hellman 密钥交换是一个两部分的过程，Alice 和 Bob 都需要一个私有的数字 a，b。

下面是 DH 交换的过程图：

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本图片来自 wiki

下面我们进行一个实例

1.爱丽丝与鲍伯协定使用 p=23 以及 g=5.

2.爱丽丝选择一个秘密整数 a=6, 计算 A = g^a mod p 并发送给鲍伯。
A = 5^6 mod 23 = 8.

3.鲍伯选择一个秘密整数 b=15, 计算 B = g^b mod p 并发送给爱丽丝。
B = 5^15 mod 23 = 19.

4.爱丽丝计算 s = B a mod p
19^6 mod 23 = 2.

5.鲍伯计算 s = A b mod p
8^15 mod 23 = 2.

ECDH 密钥交换：

ECDH:

​ ECC 算法和 DH 结合使用，用于密钥磋商，这个密钥交换算法称为 ECDH。交换双方可以在不共享任何秘密的情况下协商出一个密钥。ECC 是建立在基于椭圆曲线的离散对数问题上的密码体制，给定椭圆曲线上的一个点 P，一个整数 k，求解 Q=kP 很容易；给定一个点 P、Q，知道 Q=kP，求整数 k 确是一个难题。ECDH 即建立在此数学难题之上。密钥磋商过程：

假设密钥交换双方为 Alice、Bob，其有共享曲线参数（椭圆曲线 E、阶 N、基点 G）。

1) Alice 生成随机整数 a，计算 A=a*G。 #生成 Alice 公钥

2) Bob 生成随机整数 b，计算 B=b*G。 #生产 Bob 公钥

3) Alice 将 A 传递给 Bob。A 的传递可以公开，即攻击者可以获取 A。

​ 由于椭圆曲线的离散对数问题是难题，所以攻击者不可以通过 A、G 计算出 a。

4) Bob 将 B 传递给 Alice。同理，B 的传递可以公开。

5) Bob 收到 Alice 传递的 A，计算 Q =b*A #Bob 通过自己的私钥和 Alice 的公钥得到对称密钥 Q

6) Alice 收到 Bob 传递的 B，计算 Q`=a*B #Alice 通过自己的私钥和 Bob 的公钥得到对称密钥 Q’

Alice、Bob 双方即得 Q=bA=b(aG)=(ba)G=(ab)G=a(bG)=aB=Q’ (交换律和结合律)，即双方得到一致的密钥 Q。

​ 目前 Openssl 里面的 ECC 算法的套件支持是 ECDSA/ECDH。在国密的 SSL 套件中，可以使用 ECDSA/ECC(密钥加密传输)，ECDSA/ECDH(密钥磋商)两种套件